Àlgebra de Boole e Teorema de De Morgan

Álgebra Boole

Para descrever os circuitos que podem ser construídos pela combinação de portas lógicas, se usa a álgebra de boole, ela tem variáveis e funções que podem ter apenas valores 0 e 1. Ela também pode ser  denominada álgebra booleana, devido ao seu descobridor, o matemático inglês George Boole (1815 - 1864).

Do mesmo modo que existem funções em álgebra "comum", também existem funções na álgebra boole. Uma função da álgebra de boole pode ter uma ou mais variáveis de entrada e fornece somente um resultado que depende apenas dos valores destas variáveis.

Como uma função de “n” variáveis possui apenas “2n” conjuntos possíveis de valores de entrada, a função pode ser descrita completamente através de uma tabela de “2n” linhas, cada linha mostrando o valor da função para uma combinação diferente dos valores de entrada. Tal tabela é denominada tabela verdade.

A B C 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Acima temos a tabela verdade de uma função básica a função AND, ela é um conjunto de funções da álgebra booleana têm implementação eletrônica através de transistores e são conhecidas como portas lógicas.

Um circuito digital é regido pela álgebra de Boole, e com as portas lógicas existentes é possível implementar qualquer função da álgebra booleana. -NOT

A função NOT é implementada na conhecida porta inversora.

-AND

A função AND pode ser definida em linguagem natural como 1 se todas as entradas forem 1 e 0 se apenas uma das entradas for 0.

-OR

A função OR também pode ser definida em linguagem natural ela é 0 se todas as entradas forem 0 e 1 se existir uma entrada em 1.

-XOR

A função XOR conhecida como exclusive OR é muito parecido com a OR.

Temos acima algumas das principais portas lógicas existente, não são as únicas mas as outras portas existentes são combinações destas portas básicas, e todos os circuitos digitais podem ser montados somente com estas portas.

Teoremas de De Morgan

O Teoremas de De Morgan é utilizado para realizar à simplificação de expressões booleanas e também no desenvolvimento de circuitos digitais diversos. Eles foram propostos pelo matemático britânico Augustus De Morgan, no século XIX. Teorema do Complemento do Produto. Esse é o primeiro teorema e ele diz que o complemento do produto é igual à soma dos complementos, ou seja:

A fórmula mostra o teorema sendo aplicado a duas variáveis de entrada, mas ela pode ser estendida para mais variáveis. A tabela-verdade a seguir mostra o teorema sendo aplicado e a igualdade entre os membros é provada:

A	B	-------- (A*B)	--  -- A+B
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0

 

Teorema do complemento da soma. Esse teorema diz que o complemento da soma é igual ao produto dos complementos, sendo mais um complemento da primeira parte:

Da mesma forma que a primeira parte, a fórmula mostra sua aplicação a duas variáveis de entrada, mas ele pode ser estendido para mais variáveis, quando forem necessárias. A tabela-verdade a seguir mostra o teorema sendo aplicado e a igualdade entre os membros sendo provada:

A	B	-------- (A+B)	--  -- A*B
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	0	0
1	1	0	0

Com esses dois teoremas podemos simplificar os circuitos digitais, sendo uma ferramenta indispensável para o estudo de Eletrônica Digital.